Opgave 6

Vi ser på et straffespark i fodbold og laver følgende model:

Spilleren kan vælge én af to muligheder:

S: at skyde ude i en af siderne i målet

M: at skyde midt i målet

Målmanden kan vælge én af to muligheder:

S: at kaste sig til en af siderne i målet

M: at blive stående midt i målet

Sandsynligheden for, at spilleren scorer, afhænger af hvilke af ovenstående muligheder, der vælges og er angivet i tabellen nedenfor:

Hvis for eksempel spilleren skyder midt i målet og målmanden bliver stående, klarer målmanden altså skuddet.

Vi forestiller os nu, at både spiller og målmand inden sparket hver for sig trækker lod om, hvad de vil gøre. De har hver en kasse med 100 lodder, hvor der enten står S eller M. Vi sætter

p = sandsynligheden for, at spilleren trækker et S

q = sandsynligheden for, at målmanden trækker et S

Inden de trækker, vælger de to aktører strategi, hvilket vil sige, at spilleren bestemmer størrelsen af p, og målmanden bestemmer størrelsen af q.

De vælger altså, hvor mange lodder af type S og M, der skal ligge i deres kasse.

Sandsynligheden for en scoring, der afhænger af p og q, kaldes S(p,q).

For at finde en formel for S(p,q) må vi kende for eksempel sandsynligheden for, at spilleren trækker S, samtidig med at målmanden trækker S.

2. Vis at S( p,q ) = p + q - 1,25 · p · q

Vi forestiller os nu, at målmanden kender spillerens strategi, altså at målmanden kender p, i det øjeblik han skal vælge q.

3. Find det bedst mulige valg af q , når p er henholdsvis 1 og 0,6.
   
4. Beregn den værdi af p, for hvilken alle q er lige gode.
   
   

Vi forestiller os nu, at spilleren også kender målmandens strategi, altså at spilleren kender q , i det øjeblik han skal vælge p.

5. Angiv en Nash-ligevægt for dette spil, det vil sige, find et par , således at er det bedste valg for målmanden givet, og er det bedste valg for spilleren givet .