Optimale konstruktioner - når naturen former

Ananassens frugt er dækket af frøbærende skæl, der sidder i spiraler. Antallet af spiraler, der drejer den ene vej, er oftest 8, mens antallet, der drejer den anden vej, er 13. Vi vil se på en dynamisk model for, hvordan disse skæl dannes og vokser; en model, som forklarer, hvorfor det netop er tallene 8 og 13, der fremkommer.

Overfladen opfattes som en cylinder, og centrum for et skæl svarer til et punkt på denne overflade. Den cirkel, der udgør cylinderens bund kaldes grundcirklen.

En følge af punkter P0, P1, P2, ... dannes og bevæger sig efter følgende regler:

  1. Ethvert af punkterne dannes på grundcirklen og bevæger sig derefter lodret med konstant fart.

  2. Afstanden mellem de to steder, hvor to på hinanden følgende punkter dannes, er konstant.

  3. Afstanden i tid mellem de to tidspunkter, hvor to på hinanden følgende punkter dannes, er konstant.

  4. Hvert nyt punkt dannes på det sted på grundcirklen, hvor der er mest plads.

Det er ikke umiddelbart klart, at alle regler kan blive opfyldt samtidigt, men det vil vi antage i det følgende.

Man kan præcisere reglerne ved at folde cylinderens overflade ud som et rektangel, og lægge et koordinatsystem således at de to nederste hjørner i rektanglet får koordinaterne (-0,5 , 0) og (0,5 , 0).

At et nyt punkt dannes på det sted på grundcirklen, hvor der er mest plads, betyder, at punktet dannes, hvor der er størst mulig afstand til det nærmeste af de foregående punkter. Bemærk, at man for at vurdere afstanden mellem to punkter, der ligger tæt på hinanden men på hver sin side af den linie, der skærer cylinderen op, kan se på tre kopier af den udfoldede cylinder lagt i forlængelse af hinanden. På denne måde kan man også sige, at centrum for den største halvcirkel, der kan lægges uden at have nogen af de forgående punkter i sit indre, er det sted, hvor der er mest plads.

Hvis P0 ligger på randen af den cirkel, der på denne måde kan laves ved dannelsen af Pn, siger man, at P0 har indflydelse på Pn.

a) Forskellen mellem x- og y-koordinaten til P0 og P1 kaldes henholdsvis α og β. Når β er tilstrækkelig stor vil P0 kun have indflydelse på P1, og α vil være 0,5. Efterhånden som β bliver mindre vil P0 få indflydelse på flere af de efterfølgende.

Antag at . Koordinatsystemet lægges så P5 ligger på x - aksen, og har førstekoordinaten 0. Da er

Vi vil se på en situation, hvor P0 har indflydelse på P5; da gælder specielt:

(2)

  1. Vis ved hjælp af (2) at (α , β ) opfattet som et punkt ligger på en cirkel med centrum (8/21, 0) og radius 1/21; og dermed specielt at

  1. Overvej, hvordan denne situation kan generaliseres, og formuler den sammenhæng mellem tallene i Fibonacci-følgen, der gør, at man ovenfor kommer fra tallene 3 og 5 til 21.

Litteratur og URL'er: