Opgave 21: Forskellige afstandsmål

i Einstein-de Sitter modellen

Vi vil nu beregne de samme tre afstande som i opgave 20, hvor z = 4, blot nu under den forudsætning, at universet udvider sig efter Einstein-de Sitter modellen,

 

I denne model sker der en langsom opbremsning af udvidelseshastigheden, og rummet er helt fladt – ikke krumt.

  1. Gør rede for, at

Brug at t0 = 10 · 109 år. (Facit fra opgave 9).

  1. Beregn universets alder ved lysudsendelsen, t1. Hvor lang tid har lyset været undervejs, og hvilken afstand har lyset faktisk bevæget sig?

Man kan vise, at afstanden til galaksen ved lysmodtagelsen er givet ved:

(Se beregning)

  1. Beregn d0 samt afstanden, d1 til galaksen ved lysudsendelsen.

Sammenlign resultaterne for de tre afstande i denne opgave med resultaterne fra opgave 20. Bemærk, at svarene afhænger væsentligt af valget af model for universets udvidelse.

Forskerne er endnu ikke i stand til med sikkerhed at vælge den rigtige model – Einstein-de Sitter er blot et „bedste gæt"!

Beregning af formlen for d0

For at beregne galaksens afstand i dag indlægger vi en x-akse fra Mælkevejen, M til galaksen, G. Størrelsen x er bestemt ved at afstanden til en galakse er:

d = x · a(t),

hvor a(t) er skalafaktoren.

Se figuren:

Som det ses, følger x-aksen med i rummets udvidelse. Hos os gælder x = 0, og hos den observerede galakse sættes x = xG.

Der gælder da, at d0 = xG · a0 er den søgte afstand til galaksen.

For en lille afstand Dd gælder at

Dd = a(t) · Dx samt Dd  = c Dt.

Og derfor:

a(t) Dx = c Dt.

IV) Isolér Dx i formlen og gør rede for at der gælder:

hvor t1 og t0 er tidspunkterne ved lysudsendelsen og lysmodtagelsen.

V) Indsæt

og vis at integralet giver

Brug dette resultat til at vise formlen:

Tilsvarende fås en formel for afstanden ved lysudsendelsen: