Opgave 15: Nedre grænse for universets alder

Vi har i opgave 9 set, at en model for universets udvidelse (Einstein-de Sitter) samt kendskab til H_o giver os en værdi for universets alder. I denne opgave skal vi se, hvordan henfaldet af radioaktive stoffer sætter en nedre grænse for universets alder.

Her på Jorden finder vi f.eks. de to radioaktive isotoper:

²³²Th med halveringstid

T_1/2 = 1,41 · 10¹⁰ år = 14,1 Går

 og ²³⁸U med halveringstid

T_1/2 = 4,47 · 10⁹ år = 4,47 Går.

Der gælder formlen:

N(t) = N₀ · e ^{-k · t}

(med de sædvanlige betegnelser).

1. Udregn henfaldskonstanterne k₂₃₂ og k₂₃₈ for isotoperne ²³²Th og ²³⁸U. Brug enheden Går^-1.

Brug i det følgende, at Jorden er 4,5 Går gammel.

2. Hvor stor en brøkdel af de oprindelige mængder er der nu tilbage af de to isotoper?

Man har i modeller for dannelsen af de radioaktive stoffer beregnet, at de to isotoper produceres i følgende forhold:

Antag, at de to isotoper blev dannet samtidig med universets fødsel.

3. Gør rede for at der gælder følgende formel:

hvor t er tiden efter universets fødsel.

Da Jorden blev dannet var isotopforholdet:

4. Brug disse tal til at finde en nedre grænse for universets alder.

En mere troværdig model for produktionen af de to isotoper bygger på, at dannelsen er sket løbende gennem universets levetid i forbindelse med supernova-eksplosioner.

Vi antager at produktionsraten har været konstant. Samme værdi som før:

Der gælder da formlen

5. Brug denne formel, sammen med de tidligere oplysninger, til at finde en nedre grænse for universets alder.

6. Gør rede for at den sidstnævnte formel er korrekt.

Du får brug for, at differentialligningen y’ = a · y + b har løsningen